La courbe brachistochrone : 18 étapes (avec photos)

2024 Auteur: John Day | [email protected]. Dernière modifié: 2024-01-30 09:07

La courbe brachistochrone est un problème de physique classique, qui dérive le chemin le plus rapide entre deux points A et B qui sont à des altitudes différentes. Bien que ce problème puisse sembler simple, il offre un résultat contre-intuitif et est donc fascinant à regarder. Dans ce instructables, on apprendra le problème théorique, développera la solution et enfin construire un modèle qui démontre les propriétés de ce principe étonnant de la physique.

Ce projet est conçu pour les élèves du secondaire, car ils couvrent des concepts connexes dans les cours théoriques. Ce projet pratique renforce non seulement leur compréhension du sujet, mais offre également une synthèse de plusieurs autres domaines à développer. Par exemple, lors de la construction du modèle, les étudiants apprendront l'optique à travers la loi de Snell, la programmation informatique, la modélisation 3D, la frabrication numérique et les compétences de base en menuiserie. Cela permet à une classe entière de contribuer à diviser le travail entre eux, ce qui en fait un travail d'équipe. Le temps nécessaire à la réalisation de ce projet est d'environ une semaine et peut ensuite être démontré à la classe ou à des élèves plus jeunes.

Il n'y a pas de meilleur moyen d'apprendre que par STEM, alors continuez pour créer votre propre modèle de brachistochrone fonctionnel. Si vous aimez le projet, votez pour lui lors du concours en classe.

Étape 1: Problème théorique

Le problème de la brachistochrone consiste à trouver une courbe qui relie deux points A et B qui se trouvent à des altitudes différentes, de sorte que B ne soit pas directement en dessous de A, de sorte que laisser tomber une bille sous l'influence d'un champ gravitationnel uniforme le long de ce chemin atteindre B dans les plus brefs délais. Le problème a été posé par Johann Bernoulli en 1696.

Lorsque Johann Bernoulli posa le problème de la brachistochrone, en juin 1696, aux lecteurs d'Acta Eruditorum, qui fut l'une des premières revues scientifiques des pays germanophones d'Europe, il reçut des réponses de 5 mathématiciens: Isaac Newton, Jakob Bernoulli, Gottfried Leibniz, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus et Guillaume de l'Hôpital ayant chacun des approches uniques !

Alerte: les étapes suivantes contiennent la réponse et révèlent la beauté derrière ce chemin le plus rapide. Prenez un moment pour essayer de réfléchir à ce problème, vous pourriez peut-être le résoudre comme l'un de ces cinq génies.

Étape 2: Utiliser la loi de Snell pour démontrer

L'une des approches pour résoudre le problème de la brachistochrone est d'aborder le problème en établissant des analogies avec la loi de Snell. La loi de Snell est utilisée pour décrire le chemin qu'un faisceau de lumière suivrait pour aller d'un point à un autre tout en passant par deux médias différents, en utilisant le principe de Fermat, qui dit qu'un faisceau de lumière prendra toujours le chemin le plus rapide. Une dérivation formelle de cette équation peut être trouvée en visitant le lien suivant.

Étant donné qu'un objet en chute libre sous l'influence du champ gravitationnel peut être comparé à un faisceau de lumière passant à travers des supports changeants, chaque fois que le faisceau de lumière rencontre un nouveau support, le faisceau est légèrement dévié. L'angle de cette déviation peut être calculé en utilisant la loi de Snell. Au fur et à mesure que l'on continue d'ajouter des couches de densités réduites devant le faisceau de lumière dévié, jusqu'à ce que le faisceau atteigne l'angle critique, où le faisceau est simplement réfléchi, la trajectoire du faisceau décrit la courbe brachistochrone. (la courbe rouge dans le schéma ci-dessus)

La courbe brachistochrone est en fait une cycloïde qui est la courbe tracée par un point sur la jante d'une roue circulaire lorsque la roue roule le long d'une ligne droite sans glisser. Ainsi, si nous devons tracer la courbe, nous pouvons simplement utiliser la méthode ci-dessus pour la générer. Une autre propriété unique de la courbe est qu'une balle libérée de n'importe quel point de la courbe mettra exactement le même temps pour atteindre le fond. Les étapes suivantes décrivent le processus de réalisation d'une expérience en classe en construisant un modèle.

Étape 3: Modèle d'expérience pratique

Le modèle se compose de chemins découpés au laser qui servent de pistes pour les billes. Pour démontrer que la courbe brachistochrone est le chemin le plus rapide du point A au point B, nous avons décidé de la comparer avec deux autres chemins. Comme beaucoup de gens pensent intuitivement que la partie la plus courte est la plus rapide, nous avons décidé de mettre une pente droite reliant les deux points comme deuxième chemin. Le troisième est une courbe raide, car on aurait l'impression que la chute soudaine générerait suffisamment de vitesse pour battre les autres.

La deuxième expérience dans laquelle les balles sont lâchées à différentes hauteurs sur trois trajets brachistochrones, aboutit à ce que les balles arrivent en même temps. Ainsi, notre modèle comporte des guides imprimés en 3D qui offrent une interchangeabilité facile entre les panneaux acryliques permettant de mener les deux expériences.

Enfin, le mécanisme de libération garantit que les balles tombent ensemble et le module de synchronisation en bas enregistre les synchronisations lorsque les balles atteignent le fond. Pour ce faire, nous avons intégré trois interrupteurs de fin de course qui sont activés lorsque les billes le déclenchent.

Remarque: on pourrait simplement copier cette conception et la fabriquer à partir de carton ou d'autres matériaux facilement disponibles.

Étape 4: Matériel nécessaire

Voici les pièces et les fournitures pour faire un modèle de travail de l'expérience brachistochrone

MATÉRIEL:

1" planche de bois de pin - dimensions; 100 cm sur 10 cm

Aimant néodyme 4 - dimensions; 1 cm de diamètre et 0,5 cm de hauteur

Filament d'impression 3D - PLA ou ABS sont très bien

Insert fileté M3 x 8 - (facultatif)

Boulon M3 x 8 - 2,5 cm de long

Vis à bois x 3 - 6cm de long

Vis à bois x 12 - 2,5 cm de long

ÉLECTRONIQUE:

Arduino Uno

Limit Switchx 4- ces commutateurs agiront comme système de chronométrage

Bouton poussoir

Affichage LCD

Jumpwire x beaucoup

Le coût total du modèle s'élève à environ 3 0$

Étape 5: Impression 3D

Plusieurs pièces telles que le mécanisme de déclenchement et le boîtier de commande ont été réalisées à l'aide d'une imprimante 3D. La liste suivante contient le nombre total de pièces et leurs spécifications d'impression. Tous les fichiers STL sont fournis dans un dossier joint ci-dessus, permettant d'apporter les modifications nécessaires si nécessaire.

Boîtier de commande x 1, 20 % de remplissage

Guide x 6, 30% de remplissage

Butée de fin x 1, 20 % de remplissage

Bras pivotant x 1, 20% de remplissage

Support pivotant x 1, 30% de remplissage

Pièce de libération x 1, 20% de remplissage

Les pièces ont été imprimées en PLA car il n'y a pas de contrainte particulière agissant sur les pièces. Au total, il a fallu environ 40 heures d'impression.

Étape 6: découpe au laser des chemins

Les différents chemins que nous avons conçus sur fusion 360 ont été exportés sous forme de fichiers.dxf puis découpés au laser. Nous avons choisi de l'acrylique blanc opaque d'une épaisseur de 3mm pour réaliser les courbes. On peut même le fabriquer en bois avec des outils à main, mais il est important de s'assurer que le matériau choisi est rigide car la flexibilité peut affecter la façon dont les balles roulent.

6 x courbe brachistochrone

2 x courbe raide

2 x courbe droite

Étape 7: Couper le bois

Le cadre du modèle est en bois. Nous avons choisi du pin 1" par 4" car il nous en restait d'un projet précédent, bien que l'on puisse utiliser un bois de son choix. A l'aide d'une scie circulaire et d'un guide nous coupons deux morceaux de bois de longueur:

48cm qui est la longueur du chemin

31cm qui est la hauteur

Nous avons nettoyé les aspérités en les ponçant légèrement sur la ponceuse à disque.

Étape 8: perçage des trous

Avant de visser les deux pièces ensemble, marquez l'épaisseur du bois sur une extrémité de la pièce inférieure et centrez trois trous équidistants. Nous avons utilisé un foret de 5 mm pour créer un trou pilote sur les deux morceaux de bois et fraisé le trou sur la pièce inférieure pour permettre à la tête de vis d'être enfoncée.

Remarque: veillez à ne pas fendre le morceau de bois vertical car on percerait dans le grain final. Utilisez également de longues vis à bois car il est important que le cadre ne tremble pas et le dessus à cause de l'effet de levier.

Étape 9: Intégration des dissipateurs thermiques et des aimants

Comme les fils des pièces imprimées en 3D ont tendance à s'user avec le temps, nous avons décidé d'intégrer des dissipateurs thermiques. Les trous sont légèrement sous-dimensionnés pour permettre au dissipateur thermique de mieux adhérer au plastique. Nous avons placé des dissipateurs thermiques M3 sur les trous et les avons enfoncés avec la pointe d'un fer à souder. La chaleur fait fondre le plastique, laissant les dents se caler. Assurez-vous qu'elles affleurent la surface et qu'elles sont rentrées perpendiculairement. Au total, il y a 8 emplacements pour les inserts filetés: 4 pour le couvercle et 4 pour monter l'Arduino Uno.

Pour faciliter le montage de l'unité de chronométrage, nous avons intégré des aimants dans la boîte, ce qui facilite son détachement si des modifications sont nécessaires. Les aimants doivent s'orienter dans la même direction avant d'être poussés en place.

Étape 10: Fixation des interrupteurs de fin de course

Les trois interrupteurs de fin de course sont fixés sur un côté de l'unité de chronométrage qui fait face au fond des chemins. Ainsi, lorsque les balles cliquent sur les commutateurs, on peut déterminer quelle balle a atteint en premier et afficher le chronométrage sur un écran LCD. Soudez de petites bandes de fil aux bornes et fixez-les dans les fentes avec un peu de colle CA car elles ne devraient pas se desserrer après des coups continus.

Étape 11: écran LCD

Le couvercle de l'unité de chronométrage a une découpe rectangulaire pour l'écran LCD et un trou pour le bouton "start". Nous avons fixé l'écran avec des gouttes de colle chaude jusqu'à ce qu'il affleure la surface du couvercle et fixé le bouton rouge avec son écrou de montage.

Étape 12: Câblage de l'électronique

Le câblage consiste à connecter les différents composants dans les bonnes broches de l'Arduino. Suivez le schéma de câblage ci-joint pour configurer la boîte.

Étape 13: Téléchargement du code

Le code Arduino pour le projet brachistochrone peut être trouvé ci-dessous. Il y a deux ouvertures dans le compartiment électronique pour un accès facile au port de programmation de l'Arduino et pour la prise d'alimentation.

Le bouton rouge qui est attaché sur le dessus de la boîte est utilisé pour démarrer la minuterie. Une fois que les billes descendent les courbes et déclenchent les interrupteurs de fin de course, qui sont placés en bas, les temps sont enregistrés de manière séquentielle. Une fois les trois balles touchées, l'écran LCD affiche les résultats, alignés avec les courbes respectives (photos jointes ci-dessus). Une fois que vous avez noté les résultats au cas où une deuxième lecture est requise, appuyez simplement à nouveau sur le bouton principal pour actualiser la minuterie et répétez le même processus.

Étape 14: Les guides d'impression 3D

Les guides imprimés en 3D avaient une base de matériau de 3 mm avant le début des murs de soutènement. Par conséquent, lorsque les panneaux acryliques seraient glissés en place, il y aurait un espace entre le panneau et le cadre en bois, diminuant la stabilité du chemin.

Par conséquent, le guide devait être enfoncé de 3 mm dans le bois. Comme nous n'avions pas de toupie, nous l'avons emmenée dans un atelier local et l'avons fait sur une fraiseuse. Après un peu de ponçage, les impressions sont bien ajustées et nous avons pu les fixer avec des vis à bois sur le côté. Ci-joint un gabarit pour le placement des 6 guides sur le cadre en bois.

Étape 15: Ajout de la butée et de l'unité de chronométrage

Comme le module de chronométrage était un système séparé, nous avons décidé de créer un système de montage et de démontage rapide en utilisant des aimants. De cette façon, on peut facilement le programmer en retirant simplement l'unité. Au lieu de créer un gabarit pour transférer la position des aimants qui doivent être incrustés dans le bois, nous les laissons simplement se connecter à ceux de la boîte, puis mettons un peu de colle et plaçons la boîte sur le morceau de bois. Les marques de colle ont été transférées sur le bois, ce qui nous a permis de percer rapidement les trous aux endroits précis. Enfin, fixez le bouchon imprimé en 3D et l'unité de chronométrage doit être bien ajustée tout en pouvant se détacher avec une légère traction

Étape 16: Le mécanisme de libération

Le mécanisme de libération est simple. Utilisez un écrou et un boulon pour connecter fermement la section C au bras pivotant, ce qui en fait une pièce sécurisée. Percez ensuite deux trous au milieu du bois vertical et fixez le support. Glissez un arbre pivotant et le mécanisme est terminé.

Étape 17: L'expérience

Maintenant que le modèle est prêt, on peut faire les expériences suivantes

Expérience 1

Glissez soigneusement les panneaux acryliques du chemin droit, de la courbe brachistochrone et du chemin escarpé (dans cet ordre pour le meilleur effet). Tirez ensuite le loquet vers le haut et placez les trois boules en haut de la courbe en vous assurant qu'elles sont parfaitement alignées les unes avec les autres. Tenez-les fermement en place avec le loquet vers le bas. Demandez à un élève de lâcher les balles et à un autre d'appuyer sur le bouton rouge pour démarrer le système de chronométrage. Enfin, observez les balles rouler sur le chemin et analysez les résultats affichés sur le module de chronométrage. Mettre en place une caméra pour enregistrer des séquences au ralenti est encore plus excitant car on peut voir la course image par image.

Expérience 2

Comme l'expérience précédente, glissez dans les panneaux acryliques, mais cette fois, tous les chemins doivent être la courbe brachistonchrone. Demandez soigneusement à un élève de tenir les trois balles à des hauteurs différentes cette fois et d'appuyer sur le bouton rouge lorsque les balles sont relâchées. Regardez le moment étonnant alors que les balles s'alignent parfaitement avant la ligne d'arrivée et confirmez les observations avec les résultats.

Étape 18: Conclusion

La fabrication du modèle brachistochrone est un moyen pratique de voir les façons magiques dont fonctionne la science. Non seulement les expériences sont amusantes à regarder et engageantes, mais elles offrent également une synthèse des aspects d'apprentissage. Bien qu'il s'agisse avant tout d'un projet destiné aux élèves du secondaire, tant sur le plan pratique que théorique, cette démonstration peut être facilement comprise par les plus jeunes et pourrait être présentée sous forme de présentation simplifiée.

Nous aimerions encourager les gens à faire des choses, que ce soit un succès ou un échec, car à la fin de la journée, STEM est toujours amusant ! Bonne fabrication !

Déposez un vote dans le concours en classe si vous avez aimé les instructables et laissez vos commentaires dans la section des commentaires.

Grand prix du concours scientifique en classe