Gaussien et parabole pour étudier les flux lumineux LED d'une lampe expérimentale : 6 étapes

2024 Auteur: John Day | [email protected]. Dernière modifié: 2024-01-30 09:05

Bonjour à tous les fabricants et à la communauté animée d'Instructable.

Cette fois, Merenel Research vous apportera un problème de recherche pur et un moyen de le résoudre avec les mathématiques.

J'ai moi-même eu ce problème pendant que je calculais les flux LED d'une lampe LED RVB que j'ai construite (et que je vais apprendre à construire). Après avoir longuement cherché en ligne, je n'ai pas trouvé de réponse, alors je poste ici la solution.

LE PROBLÈME

Très souvent en physique nous avons affaire à des courbes qui ont la forme de la distribution gaussienne. Oui! C'est la courbe en cloche utilisée pour calculer la probabilité et nous a été apportée par le grand mathématicien Gauss.

La courbe de Gauss est largement utilisée dans les applications physiques de la vie réelle, en particulier lorsque nous devons traiter un rayonnement propagé à partir d'une source ou reçu d'un récepteur, par exemple:

- l'émission de la puissance d'un signal radio (par exemple le Wi-Fi);

- le flux lumineux émis par une LED;

- la lecture d'une photodiode.

Dans la fiche technique du fabricant, on nous donne souvent la valeur réelle de l'aire de la gaussienne, qui serait la puissance rayonnante totale ou le flux lumineux dans une certaine partie du spectre (par exemple d'une LED), mais il devient difficile de calculer le rayonnement réel émis au sommet de la courbe ou encore plus difficile de connaître le rayonnement superposé de deux sources proches, par exemple si on éclaire avec plus d'une LED (par exemple Bleu et Vert).

Dans cet article Instructable, je vais vous expliquer comment approximer la gaussienne avec une courbe plus facile à saisir: une parabole. Je vais répondre à la question: combien y a-t-il de courbes gaussiennes dans une parabole ?

SPOILER → LA RÉPONSE EST:

L'aire gaussienne est toujours de 1 unité.

L'aire de la parabole correspondante de même base et de même hauteur est 2,13 fois plus grande que l'aire gaussienne relative (voir l'image pour la démonstration graphique).

Ainsi, une gaussienne est à 46,94 % de sa parabole et cette relation est toujours vraie.

Ces deux nombres sont ainsi liés 0,46948=1/2,13, c'est la relation mathématique stricte entre une courbe de Gauss et sa parabole et vice versa.

Dans ce guide, je vais vous amener à découvrir cela étape par étape.

Le seul instrument dont nous aurons besoin est Geogebra.org, un excellent outil mathématique en ligne pour dessiner des graphiques.

La carte Geogebra que j'ai faite pour comparer une parabole à une gaussienne peut être trouvée sur ce lien.

Cette instructable est longue car il s'agit d'une démonstration, mais si vous devez résoudre rapidement le même problème que j'ai eu avec les flux lumineux LED, ou un autre phénomène avec des courbes de Gauss qui se chevauchent, veuillez simplement sauter sur la feuille de calcul que vous trouverez ci-jointe à l'étape 5 de ce guide, qui vous facilitera la vie et effectuera automatiquement tous les calculs à votre place.

J'espère que vous aimez les mathématiques appliquées car cette instructable en parle.

Étape 1: Comprendre la lumière émise par une LED monochromatique

Dans cette analyse, je considérerai une série de LED colorées, comme vous le voyez clairement sur leur diagramme de spectre (première image), leur distribution spectrale de puissance ressemble vraiment à une gaussienne qui converge vers l'axe x à -33 et +33 nm de la moyenne (fabricants donne généralement cette spécification). Cependant, considérez que la représentation de ce graphique normalise tous les spectres sur une seule unité d'alimentation, mais les LED ont une puissance différente selon l'efficacité de leur fabrication et la quantité de courant électrique (mA) que vous leur alimentez.

Comme vous pouvez le voir parfois le flux lumineux de deux LED se chevauche sur le spectre. Disons que je veux facilement calculer la zone de chevauchement de ces courbes, car dans cette zone, il y aura le double de puissance et je veux savoir combien de puissance en termes de lumen (lm) nous avons là-bas, eh bien ce n'est pas le cas une tâche facile à laquelle nous essaierons de répondre dans ce guide. Le problème est survenu parce que lorsque je construisais la lampe expérimentale, je voulais vraiment savoir à quel point les spectres bleu et vert se chevauchaient.

Nous nous concentrerons uniquement sur les LED monochromatiques qui sont celles qui émettent sur une portion étroite du spectre. Dans le tableau: BLEU ROYAL, BLEU, VERT, ORANGE-ROUGE, ROUGE. (La lampe que je construis est RVB)

CONTEXTE DE PHYSIQUE

Revenons un peu en arrière et expliquons un peu la physique dans un premier temps.

Chaque LED a une couleur, ou plus scientifiquement nous dirions qui a une longueur d'onde (λ) qui la détermine et qui se mesure en nanomètres (nm) et λ=1/f, où f est la fréquence d'oscillation du photon.

Donc, ce que nous appelons ROUGE est essentiellement un (grand) groupe de photons qui oscillent à 630 nm, ces photons frappent la matière et rebondissent dans nos yeux, qui agissent comme des récepteurs, puis votre cerveau traite la couleur de l'objet en ROUGE; ou les photons pourraient entrer directement dans vos yeux et vous verriez la LED qui les émet briller de couleur ROUGE.

Il a été découvert que ce que nous appelons la lumière n'est en fait qu'une petite partie du spectre électromagnétique, entre 380 nm et 740 nm; la lumière est donc une onde électromagnétique. Ce qui est curieux à propos de cette partie du spectre, c'est que c'est précisément la partie du spectre qui traverse plus facilement l'eau. Devinez quoi? Nos anciens ancêtres de la soupe primordiale étaient en fait dans l'eau, et c'est dans l'eau que les premiers êtres vivants, plus complexes, ont commencé à développer des yeux. Je vous propose de regarder la vidéo de Kurzgesagt que j'ai jointe pour mieux comprendre ce qu'est la lumière.

Pour résumer, une LED émet de la lumière, qui est une certaine quantité de puissance radiométrique (mW) à une certaine longueur d'onde (nm).

Habituellement, lorsqu'il s'agit de lumière visible, on ne parle pas de puissance radiométrique (mW) mais de flux lumineux (lm), qui est une unité de mesure pondérée par la réponse à la lumière visible des yeux humains, elle dérive de la unité de mesure candela, et elle est mesurée en lumen (lm). Dans cette présentation, nous considérerons les lumens émis par les LED mais tout s'appliquera aux mW exactement dans la même mesure.

Dans n'importe quelle fiche technique LED, le fabricant vous donnera ces informations:

Par exemple, à partir de cette fiche technique ci-jointe, vous voyez que si vous alimentez les deux led avec 100 mA, vous avez ceci:

BLEU est à 480 nm et a 11 lm de flux lumineux;

GREEN est à 530nm et a 35lm de flux lumineux.

Cela signifie que la courbe gaussienne du bleu sera plus haute, elle augmentera davantage, sans modifier sa largeur et elle oscillera autour de la partie délimitée par la ligne bleue. Dans cet article, j'expliquerai comment calculer la hauteur de la gaussienne qui exprime la puissance de crête totale émise par la LED, pas seulement la puissance émise dans cette partie du spectre, malheureusement cette valeur sera inférieure. De plus, je vais essayer d'approcher la partie qui se chevauche des deux LED pour comprendre à quel point le flux lumineux se chevauche lorsque nous avons affaire à des LED "voisines" dans le spectre.

Mesurer le flux de LED est une question très complexe, si vous souhaitez en savoir plus, j'ai mis en ligne un article détaillé d'Osram qui explique comment les choses sont faites.

Étape 2: Introduction à la parabole

Je n'entrerai pas dans les détails de ce qu'est une parabole car elle est largement étudiée à l'école.

Une équation d'une parabole peut s'écrire sous la forme suivante:

y=ax^2+bx+c

ARCHIMÈDE NOUS AIDE

Ce que je voudrais souligner est un important théorème géométrique d'Archimède. Ce que dit le théorème, c'est que l'aire d'une parabole limitée dans un rectangle est égale aux 2/3 de l'aire du rectangle. Dans la première image avec la parabole, vous pouvez voir que la zone bleue est 2/3 et les zones roses sont 1/3 de la zone du rectangle.

On peut calculer la parabole et son équation connaissant trois points de la parabole. Dans notre cas on va calculer le sommet et on connait les intersections avec l'axe x. Par exemple:

LED BLEUE Vertex(480, ?) le Y du vertex est égal à la puissance lumineuse émise à la longueur d'onde de crête. Pour le calculer, nous utiliserons la relation qui existe entre l'aire d'une gaussienne (flux réel émis par la LED) et celle d'une parabole et nous utiliserons le théorème d'Archimède pour connaître la hauteur du rectangle qui contient cette parabole.

x1 (447, 0)

x2 (513, 0)

MODÈLE PARABOLIQUE

En regardant l'image que j'ai téléchargée, vous pouvez voir un modèle complexe pour représenter avec des paraboles plusieurs flux lumineux LED différents, mais nous savons que leur représentation n'est pas exactement comme ça car elle ressemble plus à une gaussienne.

Cependant, avec les paraboles, en utilisant des formules mathématiques, nous pouvons trouver tous les points d'intersection de plusieurs paraboles et calculer les zones d'intersection.

À l'étape 5, j'ai joint une feuille de calcul dans laquelle j'ai mis toutes les formules pour calculer toutes les paraboles et leurs zones d'intersection des LED monochromatiques.

Habituellement, la base de la gaussienne d'une LED est large de 66 nm, donc si nous connaissons la longueur d'onde dominante et que nous approximons le rayonnement de la LED avec une parabole, nous savons que la parabole relative coupera l'axe x en λ+33 et λ-33.

Il s'agit d'un modèle qui se rapproche d'une lumière totale émise par LED avec parabole. Mais nous savons que si nous voulons être précis, ce n'est pas tout à fait exact, nous aurions besoin d'utiliser une courbe de Gauss, ce qui nous amène à l'étape suivante.

Étape 3: Introduction à la courbe de Gauss

Une gaussienne c'est une courbe qui sonnera plus complexe qu'une parabole. Il a été inventé par Gauss pour interpréter les erreurs. En fait, cette courbe est très utile pour voir la distribution probabiliste d'un phénomène. Aussi loin que l'on se déplace vers la gauche ou la droite à partir de la moyenne, nous avons un certain phénomène moins fréquent et comme vous pouvez le voir sur la dernière image cette courbe est une très bonne approximation des événements de la vie réelle.

La formule gaussienne est l'effrayante que vous voyez comme deuxième image.

Les propriétés gaussiennes sont:

- il est symétrique par rapport à la moyenne;

- x = coïncide non seulement avec la moyenne arithmétique mais aussi avec la médiane et le mode;

- il est asymptotique en abscisse de chaque côté;

- il diminue pour xμ;

- il a deux points d'inflexion en x = μ-σ;

- l'aire sous la courbe est de 1 unité (étant la probabilité que tout x se vérifie)

est l'écart type, plus le nombre est grand plus la base gaussienne est large (première image). Si une valeur se trouve dans la partie 3σ, nous saurons qu'elle s'éloigne vraiment de la moyenne et il y a moins de probabilité que cela se produise.

Dans notre cas, avec les LED, on connaît l'aire de la gaussienne qui est le flux lumineux donné dans la fiche technique constructeur à un pic de longueur d'onde donné (qui est la moyenne).

Étape 4: Démonstration avec Geogebra

Dans cette section, je vais vous expliquer comment utiliser Geogebra pour démontrer qu'une parabole est 2,19 fois sa gaussienne.

Tout d'abord, vous devez créer quelques variables en cliquant sur la commande du curseur:

L'écart type σ=0,1 (l'écart type définit la largeur de la courbe de Gauss, j'ai mis une petite valeur car je voulais la rendre étroite pour simuler une distribution de puissance spectrale LED)

La moyenne est 0 donc la gaussienne est construite sur l'axe des y, où il est plus facile de travailler.

Cliquez sur la fonction petite vague pour activer la section des fonctions; là, en cliquant sur fx, vous pouvez insérer la formule gaussienne et vous verrez apparaître à l'écran une belle grande courbe gaussienne.

Graphiquement, vous verrez où la courbe converge sur l'axe x, dans mon cas en X1(-0.4;0) et X2(+0.4;0) et où le sommet est en V(0;4).

Avec ces trois points, vous avez suffisamment d'informations pour trouver l'équation de la parabole. Si vous ne souhaitez pas effectuer de calcul à la main, n'hésitez pas à utiliser ce site Web ou la feuille de calcul à l'étape suivante.

Utilisez la commande de fonction (fx) pour remplir la fonction parabole que vous venez de trouver:

y=-25x^2 +4

Maintenant, nous devons comprendre combien de gaussiennes sont dans une parabole.

Vous devrez utiliser la commande de fonction et insérer la commande Intégrale (ou Intégrale dans mon cas, car j'utilisais la version italienne). L'intégrale définie est l'opération mathématique qui permet de calculer l'aire d'une fonction définie entre à x valeurs. Si vous ne vous souvenez pas de ce qu'est une intégrale définie, lisez ici.

a=Intégrale(f, -0,4, +0,4)

Cette formule Geogebra résoudra l'intégrale définie entre -0,4 et +0,4 de la fonction f, la gaussienne. Comme nous avons affaire à une gaussienne, son aire est de 1.

Faites de même pour la parabole et vous découvrirez le nombre magique 2,13. Quel est le numéro clé pour faire toutes les conversions de flux lumineux avec des LED.

Étape 5: Exemple concret avec des LED: Calcul du pic de flux et des flux qui se chevauchent

FLUX LUMINEUX AU SOMMET

Calculer la hauteur réelle des courbes gaussiennes agitées de la distribution du flux LED, maintenant que nous avons découvert le facteur de conversion 2,19, est très facile.

par exemple:

La LED BLEUE a 11lm de flux lumineux

- on convertit ce flux de gaussien en parabolique 11 x 2,19 = 24,09

- nous utilisons le théorème d'Archimède pour calculer l'aire relative du rectangle qui contient la parabole 24,09 x 3/2 = 36,14

- nous trouvons la hauteur de ce rectangle divisant pour la base de la gaussienne pour la LED BLEUE, donnée dans la fiche technique ou vue sur le tableau de la fiche technique, généralement autour de 66 nm, et c'est notre puissance au pic de 480 nm: 36,14 / 66 = 0,55

ZONES DE FLUX LUMINEUX QUI SE RECOUVRENT

Pour calculer deux rayonnements qui se chevauchent, je vais expliquer avec un exemple avec les deux LED suivantes:

BLEU est à 480 nm et a 11 lm de flux lumineux VERT est à 530 nm et a 35 lm de flux lumineux

On sait et on voit sur le graphique que les deux courbes gaussiennes convergent en -33nm et +33nm, par conséquent on sait que:

- BLEU coupe l'axe x en 447nm et 531nm

- VERT coupe l'axe x en 497nm et 563nm

On voit clairement que les deux courbes se coupent car une extrémité de la première est après le début de l'autre (531nm>497nm) donc la lumière de ces deux LED se chevauche en certains points.

Nous devons d'abord calculer l'équation de la parabole pour les deux. La feuille de calcul ci-jointe est là pour vous aider dans les calculs, et a intégré les formules pour résoudre le système d'équations afin de déterminer les deux paraboles connaissant les points d'intersection de l'axe x et le sommet:

Parabole BLEUE: y = -0.0004889636025x^2 + 0.4694050584x -112.1247327

Parabole VERTE: y = -0.001555793281x^2 + 1.680256743x - 451.9750618

dans les deux cas a>0 et, donc la parabole pointe correctement à l'envers.

Pour prouver que ces paraboles sont correctes, remplissez simplement a, b, c dans le calculateur de sommets sur ce site Web de calculatrice de paraboles.

Sur la feuille de calcul, tous les calculs sont déjà effectués pour trouver les points d'intersection entre les paraboles et pour calculer l'intégrale définie pour obtenir les zones d'intersection de ces paraboles.

Dans notre cas, les zones d'intersection des spectres LED bleu et vert sont de 0,4247.

Une fois que nous avons les paraboles d'intersection, nous pouvons multiplier cette nouvelle zone d'intersection pour le multiplicateur gaussien 0,4694 et trouver une approximation très proche de la puissance totale que les LED émettent ensemble dans cette section du spectre. Pour trouver le flux de LED unique émis dans cette section, il suffit de diviser par 2.

Étape 6: L'étude des LED monochromatiques de la lampe expérimentale est maintenant terminée

Eh bien, merci beaucoup d'avoir lu cette recherche. J'espère qu'il vous sera utile de comprendre en profondeur comment la lumière est émise par une lampe.

J'étudiais les flux des LED d'une lampe spéciale composée de trois types de LED monochromatiques.

Les "ingrédients" pour fabriquer cette lampe sont:

- 3 LED BLEU

- 4 LED VERT

- 3 LED ROUGE

- 3 résistances pour limiter le courant dans les branches du circuit LED

- Alimentation 12V 35W

- Couverture acrylique gaufrée

- Contrôle OSRAM OT BLE DIM (Unité de contrôle LED Bluetooth)

- Dissipateur thermique en aluminium

- Bols et écrous M5 et supports en L

Contrôlez tout avec l'application Casambi depuis votre smartphone, vous pouvez allumer et tamiser chaque canal LED séparément.

Construire la lampe est très simple:

- fixez la LED au dissipateur avec du ruban adhésif double face;

- souder toutes les LED BLU en série avec une résistance, et faire de même avec l'autre couleur pour chaque branche du circuit. En fonction des LED que vous choisirez (j'ai utilisé des LED Lumileds), vous devrez choisir la taille de la résistance en fonction du courant que vous injecterez dans la LED et de la tension totale donnée par l'alimentation de 12V. Si vous ne savez pas comment faire cela, je vous suggère de lire cette excellente instructable sur la façon de déterminer la taille d'une résistance pour limiter le courant d'une série de LED.

- connectez les fils à chaque canal de l'Osram OT BLE: le tout le positif principal des branches des leds va au commun (+) et les trois négatifs des branches vont respectivement à -B (bleu) -G (vert) -R (rouge).

- Branchez l'alimentation à l'entrée de l'Osram OT BLE.

Maintenant, ce qui est cool avec l'Osram OT BLE, c'est que vous pouvez créer des scénarios et programmer les canaux LED, comme vous pouvez le voir dans la première partie de la vidéo, je tamise les trois canaux et dans la deuxième partie de la vidéo, j'en utilise scénarios lumineux prédéfinis.

CONCLUSIONS

J'ai beaucoup utilisé les mathématiques pour comprendre en profondeur comment les flux de ces lampes se propageraient.

J'espère vraiment que vous avez appris quelque chose d'utile aujourd'hui et je ferai de mon mieux pour apporter à plus de cas instructables de recherche appliquée approfondie comme celui-ci.

La recherche est la clé!

Si longtemps!

Pietro